中文摘要：

对于图G（或有向图D）内的任意两点v和v，u-v测地线是指在u和v之间（或从u到v）的最短路．Ⅰ（u，v）表示位于v-v测地线上所有点的集合，对于SCV（G）（或V（D）），Ⅰ（S）表示所有Ⅰ（u，v）的并，这里u，v∈S．G（或D）的测地数g（G）（或g（D））是使Ⅰ（S）=V（G）（或Ⅰ（S）=V（D））的点集S的最小基数．G的下测地数g^-（G）=min{g（D）：D是G的定向图），G的上测地数g^＋（G）=max{g（D）：D是G的定向图}．对于u∈V（G）和v∈V（H），Gu＋Hv表示在u和v之间加一条边所得的图．本文主要研究图Gu＋Hv的测地数和上（下）测地数．

英文摘要：

For any two vertices u and v in a graph G （digraph D, respectively）, a u - v geodesic is a shortest path between u and v （from u to v, respectively）. Let Ⅰ（u, v） denote the set of all vertices lying on a u - v geodesic. For a vertex subset S, let Ⅰ（S） denote the union of all Ⅰ（u,v） for u,v ∈ S. The geodetic number g（G） （g（D）, respectively） of a graph G （digraph D, respectively） is the minimum cardinality of a set S with Ⅰ（S） = V（G） （Ⅰ（S） = V（D）, respectively）. The lower geodetic number of G is g^-（G） = min{g（D） ： D is an orientation of G}. The upper geodetic number of G is g^＋（G） = max{g（D） ： D is an orientation of G}. For two graphs G and H with u C V（G） and v C V（H）, Gu ＋ Hv is a graph obtained from G and H by adding an edge uv. The main purpose of this paper is to study the lower and upper geodetic numbers of the graph Gu ＋Hv.