中文摘要：

让 R 是一枚 Noetherian 戒指， M Artinian R 模块，和 𝖒；公司 _R M。然后 cograde _R𝔭； Hom _R (R _𝔭,M)=inf { 我| _i (𝔭,M)> 0 }并且在哪儿 _i (𝔭,M)是 i-th 关于 𝔭 的 M 的双鲈鱼数字；， cograde _{R𝔭 ；} Hom _R ( R _𝔭,M)是任何最大的 Hom _R ( R _𝔭, M )伪在 𝔭 包含的co常规的顺序；R _𝔭, 和 fd _R𝔭； Hom _R (R _𝔭, M ) 是 R _𝔭-module Hom _R (R _𝔭, M ) 。我们也在 cograde，合作尺寸和合作本地化模块的扁平的尺寸之中学习关系。

英文摘要：

Let R be a Noetherian ring, M an Artinian R-module, and p ∈ CosRM. Thencograden. Homn（Rp, M） =-inf{i ｜πi（p, M） 〉 0} and πi（p, M） 〉 0 =〉 cogradeRpHomR（Rp, M） ≤ i ≤ fdRpHomR（Rp, M）,where πi （p,M） is the i-th dual Bass number of M with respect to p, cogradeRpHomR （Rp ,M） is the common length of any maxima[ HomR（Rp, M）-quasi co-regular sequence contained in pRp, and fdRp HomR（Rp, M） is the flat dimension of the Rp-module HomR（Rp, M）. We also study the relations among cograde, co-dimension and flat dimension of co-localization modules.