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中文摘要：
设P, Q为Hilbert空间H上的幂等算子, 关于算子$P$的广义幂等算子类ω（P）定义为ω（P）={A ∈B}（H）： A2=αA＋βP, AP=PA=A, P2=P, ∨α, β∈C}. 对任意A ∈ω（P）, B ∈ω（Q）使得A2=αA ＋βP, B2=mB＋nQ, βn≠ 0, 得到了如下的结论： 值域R（PQ）是闭的充要条件是值域R（AB）是闭的; 如果P-Q是可逆的, 则A-B是可逆的.
英文摘要：
Let P and Q be two idempotents on a Hilbert space H. The set ω（P） of generalized idempotent operators with respect to P is defined by ω（P）={A ∈B（H）： A2=α A＋β P, AP=PA=A, P2=P, for some α, β ∈C}. In this note, the author proves that the invertibility of A-B is completely determined by the invertibility of P-Q, and R（AB） is closed if and only if R（PQ） is closed for arbitrary A ∈ω（P） and B ∈ω（Q） such that A2=α A ＋ β P, B2=mB＋nQ, where β n ≠ 0, α and m are arbitrary.
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