中文摘要：

对于任意正整数a,令σ（a）表示a的所有因子之和.设n是一个固定的正整数,称正整数x是n-完全数,如果它满足σ（x）＋σ（nx）=2（n＋1）x.运用σ（a）的一些性质讨论了2^r-完全数的存在性,其中r是固定的正整数,证明了x是2^r-完全数当且仅当x=2^s（2^r＋s＋2^s-1）,其中s是正整数,2^r＋s＋2^s-1是一个奇素数.

英文摘要：

For any positive integer a,let σ（a） denote the sum of all divisors of a. Let n be a fixed positive integer. A positive integer x is called a n-perfect number, if x satisfies σ（x） ＋σ（nx） = 2 （n ＋ 1） x. Using some properties of σ（a）,the existence of 2^r-perfect number is discussed,where r is a fixed positive integer. We prove that x is a 2^r-perfect number if and only if x = 2^s （2^r＋s＋ 2＇^s- 1） , where s is a positive integer, 2^r＋s＋2^s-1 is an odd prime.