中文摘要：

设a是大于1的正整数，f（a）是a的非负整系数多项式，f（1）=2rp＋4，其中r是大于1的正整数，P=2^l-1是Mersenne素数．本文讨论了方程 （（a-1）x2＋f（a）=4a^n的正整数解（x，n）的有限性，并且证明了：当f（a）=91a＋9时，该方程仅当a=5，7和25时分别有解（x，n）=（3，3），（11，3）和（3，4）．

英文摘要：

Let a be a positive integer with a 〉 1, f（a） be a polynomial of a with nonnegative integer coefficients, and f（1） = 2rp -b 4, where r is a positive integer with r 〉 1, p = 2^l- 1 is a Mersenne prime. In this paper, the finiteness of positive integer solution （x, n） of the equation （a-1）x2＋f（a）=4a^n is discussed, and prove that if f（a） = 91a ＋ 9, then the equation has only the positive integer solutions （x, n） = （3, 3）, （11,3） and （3, 4） for a = 5, 7 and 25 respectively.