中文摘要：

给出了最佳参数a1，a2，a3，β1，β2，β3∈R，使得双向不等式a1Q（a,b）＋（1-a1）G（a,b）〈T[A（a,b）,Q（a,b）]〈β1Q（a,b）＋（1-β1）G（a,b）,a2Q（a,b）＋（1-a2）G（a,b）〈T[A（a,b）,Q（a,b）]〈β2Q（a,b）＋（1-β2）G（a,b），a3Q（a,b）＋（1-a3）G（a,b）〈T[A（a,b）,Q（a,b）]〈β3Q（a,b）＋（1-β3）G（a,b）对所有a，b〉0且a≠b成立．其中A（a，b）=（a＋b）／2，H（a，b）=2ab／（a＋b），G（a，b）=√ab,Q（ab,b）=√（a2＋b2）/2,C（a,b）=（a2＋b2）/（a＋b）,T（a,b）=2/π∫0^π/2 √a2cos2t＋b2sin2tdt分别是两个正数a和b的算术平均，调和平均，几何平均，二次平均，反调和平均和Toader平均．

英文摘要：

In this paper, we present the best possible parameters a1, a2, a3, β1, β2, β3 ∈R such that the double inequalities a1Q（a,b）＋（1-a1）G（a,b）〈T[A（a,b）,Q（a,b）]〈β1Q（a,b）＋（1-β1）G（a,b）,a2Q（a,b）＋（1-a2）G（a,b）〈T[A（a,b）,Q（a,b）]〈β2Q（a,b）＋（1-β2）G（a,b）,a3Q（a,b）＋（1-a3）G（a,b）〈T[A（a,b）,Q（a,b）]〈β3Q（a,b）＋（1-β3）G（a,b） hold for all a,b〉0 with a≠b, where A （a,b）=（a＋b）/2,H（a,b）=2ab/（a＋b）,G（a,b）=√ab,Q（ab,b）=√（a2＋b2）/2,C（a,b）=（a2＋b2）/（a＋b）,T（a,b）=2/π∫0^π/2 √a2cos2t＋b2sin2tdt are respectively the arithmetic, harmonic, geometric, quadratic, contraharmonic and Toader means of a and b, respectively.