中文摘要：

让 k 是一个积极整数。为任何积极整数 x =<潜水艇class=“ a-plus-plus ”> i=0 <啜class=“ a-plus-plus ”> x <潜水艇class=“ a-plus-plus ”> i 2^{在哪儿的 i} , x <潜水艇class=“ a-plus-plus ”> i = 0 ， 1 ，我们由 wx 定义 x 的重量 wx <潜水艇class=“ a-plus-plus ”> i=0 <啜class=“ a-plus-plus ”> x <潜水艇class=“ a-plus-plus > i 。为有 0 t k 的任何整数 t 1 ，让 S <潜水艇class=“ a-plus-plus ”> t {一， b <啜class=“ a-plus-plus ”> 2 |a + b t 现代派 2 <啜class=“ a-plus-plus ”> k 1 ， wa + wb k ， 0 一， b 2 <啜class=“ a-plus-plus ”> k 2 }。这份报纸为 S 的集的势给明确的公式 < 潜水艇 class= “ a-plus-plus ” > 在 wt 的情况中的 t 3 并且为 S 的集的势的上面的界限 < 潜水艇 class= “ a-plus-plus ” > t 什么时候 wt = 4。从这，一个人那么结束那一 Tu 和邓在 2011 建议的 conjecture 是真的如果 wt 4。

英文摘要：

Let k be a positive integer. For any positive integer x =∑i=0^∞xi2^i, where xi = 0, 1,we define the weight w（x） of x by w（x） ：= ∑i=0^∞xi. For any integer t with 0 〈 t 〈 2^k- 1, let St ：= {（a,b）∈ Z^2｜a＋b≡t（mod 2^k-1）,w（a）＋w（b）〈k,0≤a,b≤2^k-2}.This paper gives explicit formulas for cardinality of St in the cases of w（t） ≤ 3 and an upper bound for cardinality of St when w（t） = 4. From this one then concludes that a conjecture proposed by Tu and Deng in 2011 is true if w（t） ≤ 4.