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中文摘要：
设M为n维完备无边界的流形，它的Ricci曲率有下界-K，这里K为实常数．假设M上的向量场B满足｜B｜≤γ且△↓B≤K＊.这里γ为非负常数，K＊为实常数，则带权Laplacjan方程△u＋Bu=0任意正的光滑解满足最优梯度估计 ｜△↓u｜^2/u^2≤m（K＋K＊）＋mγ^2/m-n, 其中任意常数m〉n.
英文摘要：
Let M be any n-dimensional complete manifold without boundary and with Ricci curvature bounded below by -K, where K is a real constant. If B is a vector field such that the norm ｜B｜≤γ and △↓B≤K＊ on M, for nonnegative constant γ and real constant K＊, then any positive smooth solution of the equation △u＋Bu =0 satisfies the following sharp gradient estimate ｜△↓u｜^2/u^2≤m（K＋K＊）＋mγ^2/m-n, on M for any real constant m 〉 n.
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