中文摘要：

随机微分方程（SDE）是描述现实世界中的随机现象的强有力工具，在诸如扩散过程和金融数学等领域有着广泛应用。近年来，对于具有弱可微系数的常微分方程（ODE）的研究取得了重要进展，形成了著名的DiPerna-Lions理论。受此启发，系数满足弱正则性条件的SDE是当前国际上的热点研究方向之一，在适当的Sobolev条件下人们已经得到了随机可测映射流的存在唯一性，以及参考测度在流的作用下的拟不变性。本项目计划在近期关于ODE的研究基础上，考虑如下问题（一）、具有弱可微系数的SDE生成的随机流，主要研究该随机流的各种正则性，如渐近可微性和Wong-Zakai型极限定理等；（二）、具有有界变差系数的二阶抛物型偏微分方程，证明该方程的解的存在唯一性；（三）、SDE及其对应的抛物型方程在流体力学中的应用，期望给出描述聚合物流体（polymeric fluids）的某些随机方程的严格数学意义。

结论摘要：

近年来，受著名的DiPerna-Lions理论的启发，系数满足弱正则性条件的随机微分方程（SDE）是国际上的热点研究方向之一，在适当的Sobolev条件下人们证明了随机可测映射流的存在唯一性，以及参考测度在流的作用下的拟不变性。本项目取得了以下成果 1）对于退化情形的Fokker-Planck方程，当它的扩散系数属于Sobolev空间且漂移系数具有有界变差（BV）时，证明了Fokker-Planck型方程存在唯一解，从而将Le Bris和Lions的结果推广到漂移系数只具有有界变差的情形；当漂移系数的梯度可以表示为某个奇异积分时，得到了解的唯一性。 2）在统一的框架下处理了系数满足Osgood或Sobolev条件的ODE，证明了它生成唯一的拟不变的映射流。 3）考虑了扩散系数一致非退化的随机微分方程，当它的漂移系数为Holder连续或满足LPS可积性条件时，证明了对应的半群满足与维数无关的Harnack不等式及log-Harnack不等式。 4）利用经典的对数Sobolev不等式，得到了有限维非退化Wiener泛函的密度函数关于Gauss测度的相对熵的与维数无关的估计。