中文摘要：

本项目为非交换代数、同调代数、非交换代数几何的交叉领域。将从代数表示论和环论的角度来研究代数的模-相对Hochschild（上）同调及形式光滑性问题, 将揭示三角矩阵代数的模-相对Hochschild(上)同调与其子代数的模-相对Hochschild(上)同调之间的本质关系，并给出三角矩阵代数是形式光滑的充要条件；通过对代数的满同态下代数的模-相对Hochschild（上）同调的探讨，揭示代数与其商代数之间的模-相对Hochschild之间的内在联系，以及它们的形式光滑性之间的关系。

结论摘要：

本项目从代数表示论的角度研究了代数的模-相对Hochschild（上）同调及形式光滑性问题。讨论了在Morita 型稳定等价下，代数的Hochschild (上) 同调、相对Hochschild(上) 同调以及模- 相对Hochschild (上) 同调三者之间的关系，证明了模- 相对Hochschild 同调与上同调是Morita 型稳定等价下的不变量。作为该结果的应用，我们得到形式光滑双模与可分双模的一种构造方法，并给出了通常意义下的Hochschild (上) 同调是Morita 型稳定等价不变量的一种新的证明；研究了张量积代数以及代数的直积（一种特殊的三角矩阵代数）的模-相对Hochschild（上）同调，得到它们的模-相对Hochschild（上）同调与其因子代数的模-相对Hochschild（上）同调之间的关系，进而证明了，两个代数的张量积是形式光滑的当且仅当其中一个代数是形式光滑的另一个是可分的，而两个代数的直积是形式光滑的当且仅当这两个代数都是形式光滑的；研究了基础环扩张的模-相对Hochschild（上）同调，在扩张代数与原代数的模-相对Hochschild（上）同调之间建立了很好的关系，证明了基础环扩张代数的模-相对Hochschild（上）同调可由原代数的（上）同调得到；研究了代数满同态下的模-相对Hochschild（上）同调，在两个代数满足一定的条件下，得到了它们的模-相对Hochschild（上）同调之间很好的关系。