中文摘要：

具有两个拟周期的整函数被称为Theta函数， Theta函数是现代数学的重要研究课题，在数论、特殊函数、q-级数、模函数、代数几何等许多数学领域扮演着重要的角色。 近10多年来，项目申请人及其合作者在Theta函数的研究上取得了一系列研究结果，在《Advances in Mathematics》、《Pacific Journal of Mathematics》及《International Mathematics Research Notices》等有声望的数学刊物上发表了多篇论文，研究结果得到了同行的肯定。 本项目计划在原有的基础上系统研究亚纯Theta函数。亚纯Theta 函数是指具有两个拟周期的亚纯函数，这是一类尚未被充分研究的函数。 我们将研究该类函数的构造问题，分解问题，该函数和椭圆函数的关系及该函数和模形式及广义Eisenstin级数的关系。

结论摘要：

1.利用有限Fourier分析建立了关于Theta 函数恒等式的一对反演关系，利用该对反演关系我们发展了一套系统推导Theta函数恒等式的新方法，利用该方法我们不仅重新推导了一些著名的Theta函数恒等式，并且证明了许多新的Theta函数恒等式。 2. 利用渐近分析的方法，分别建立了一个一般性的7阶Theta函数恒等式和一个一般性的8阶Theta 函数恒等式，由此推出了许多新的模函数恒等式。 3.在2002年我发现的一个q-级数展开公式的基础上，证明了一个新的q-级数展开公式。 利用该展开公式，给出了Askey-Wilosn 多项式正交性的一个优雅的证明，发现了一系列新的Hecke 型级数恒等式，给出了将正整数表示成任意个平方数和的一个公式，给出了q-Jacobi多项式正交性的和q-Hahn多项式正交性的新证明，得到了一个以Nassrallah–Rahman 积分为特例的一个新的q-beta 积分公式。 4.利用多复变函数理论，证明了如果一个多变量解析函数满足一组q-偏微分方程，则该函数可以展开成Rogers-Szego 多项式的乘积。利用该展开定理，我们发现了一套系统推导q-公式的新方法，给出了著名的q-Watson-Whipple 公式的一个推广，导出了关于Rogers-Szego 多项式的一个多重生成函数。 5. 利用多复变函数理论和q-偏微分方程理论，发展了一套研究研究Hahn多项式的新方法，证明许多非平凡的q-级数公式。 6. 利用Gamma 函数的性质及Gauss和公式及Dougall和公式，发现了无限多关于圆周率导数的级数展开公式。 7. 2012年12月作为我国的唯一代表应邀在纪念Ramanujan 诞辰125周年的国际会议“The Legacy of Srinivasa Ramanujan”上做邀请报告。