中文摘要：

复动力系统是当前国际上数学研究热点之一。复动力系统研究复解析自映射迭代形成的动力系统，主要包括多项式、有理函数及整函数。目前有理函数动力系统中的主要问题包括双曲猜想，有理函数Julia集的结构（组合结构、拓扑结构、几何结构等）。 本项目研究有理函数Julia集的组合结构，其中包括研究几何有限有理函数Julia集复杂型周期分支循环的个数，探讨一般有理函数Julia集游荡分支的拓扑性质；对临界有限有理函数考察类似于Hubbard tree的图的存在性；利用Cantor型曲线族对临界有限有理函数的Julia集进行分解，研究分解后产生的重整化现象，利用Cantor型曲线族研究临界有限有理函数Julia集游荡连续统的存在性；探讨没有不变曲线族的临界有限有理函数的分类问题；研究一类多临界点映射的拟共形刚性问题。

结论摘要：

基本完成研究计划，已完成论文4篇，其中发表3篇。具体研究成果如下。1. 引入Cantor型曲线族；利用Cantor型曲线族对临界有限有理函数Julia集进行分解，并证明这种分解产生重整化；证明临界有限有理函数Julia集有分离型游荡连续统的充要条件是它具有Cantor型曲线族；引入了一种新的手术方式—Folding，从多项式出发，利用folding构造了具有Cantor型曲线族的临界有限有理函数，使得它能够产生给定的重整化。2. 对于给定正整数d>2和N，构造了度为d的次双曲有理函数，满足Julia集复杂型周期分支循环个数是N。3. 对一类具有多个临界点box映射的拟共形刚性给出了证明。4. 构造性地证明任何一个Julia集是Cantor集的有理函数可以被一列双曲的Julia集是Cantor集的有理函数逼近。