中文摘要：

本项目主要研究算子集合上的自同构与量子力学中的对称以及对称群问题。算子集合上的自同构一方面是探讨算子集合间保持算子某种性质不变的双射的刻画问题，另一方面是研究其线性延拓（代数延拓）问题，即这样的映射是否可延拓为由该算子集合所生成的空间（代数）上的线性（代数）同构。量子力学中的对称问题是研究量子系统在某种变换下该系统的某种特性不变。如果把某个系统上所有的某种对称（自同构）组成一个集合，则该集合是一个群，即对称群。对称群问题就是研究不同量子系统间对称群是否群同态或者群同构。

结论摘要：

本项目主要研究算子集合上的自同构与量子力学中的对称以及对称群问题。算子集合上的自同构一方面是探讨算子集合间保持算子某种性质不变的双射的刻画问题，另一方面是研究其线性延拓（代数延拓）问题，即这样的映射是否可延拓为由该算子集合所生成的空间（代数）上的线性（代数）同构。重要结果有刻画了von Neumann代数上非线性李导子、非线性可乘*-李同构、以一种新的算子乘积为不变量的非线性双射，非线性\ksi-李导子的自动可加性。量子力学中的对称问题是研究量子系统在某种变换下该系统的某种特性不变。重要结果有刻画了量子概率映射上的仿射自同构与正交序自同构，量子态上以极大纠缠性为不变量以及以Schmidt数为不变量的局部信道。如果把某个系统上所有的某种对称（自同构）组成一个集合，则该集合是一个群，即对称群。对称群问题就是研究不同量子系统间对称群是否群同态或者群同构。我们证明了仿射对称群事实上是正交序对称群的真子群，量子概率映射上的局部可加对称群、约当三重对称群都与仿射对称群群同构。