中文摘要：

与Riemann-Hilbert问题相联系的非交换最速下降法,在组合论、随机矩阵论及数学物理问题中有越来越广泛的应用。本项研究拟结合正交多项式系的一致渐近展开来研究非交换的最速下降法；主要致力于获取展开中的无穷小项,以期阐明该方法与经典最速下降法的联系并改进这一方法。此外拟用此方法分别考察Szego类和非Szego类多项式在全平面的一致渐近展开,并研究Painlevé函数的一致渐近性质，作为探讨相关的数学物理问题的基础。本项目的特点之一是用Painlevé函数与特殊函数同等地来刻划函数；另一个特点是Berry-Howls的方法与非交换最速下降法的切合，使后者不但在渐近分析的研究中成为有用的工具,而且成为研究数学物理中重要的渐近性问题的更有效方法。

结论摘要：

与Riemann-Hilbert问题相联系的非交换最速下降法,在组合论、随机矩阵论及数学物理问题中有越来越广泛的应用。本项研究拟结合正交多项式系的一致渐近展开来研究非交换的最速下降法；主要致力于获取展开中的无穷小项,以期阐明该方法与经典最速下降法的联系并改进这一方法。此外拟用此方法分别考察Szego类和非Szego类多项式在全平面的一致渐近展开,并研究Painlevé函数的一致渐近性质，作为探讨相关的数学物理问题的基础。本项目的特点之一是用Painlevé函数与特殊函数同等地来刻划函数；另一个特点是Berry-Howls的方法与非交换最速下降法的切合，使后者不但在渐近分析的研究中成为有用的工具,而且成为研究数学物理中重要的渐近性问题的更有效方法。