中文摘要：

本项目拟把对称性和敏感性研究应用于一些具有物理意义的非线性耦合系统，特别是扰动非线性耦合系统1、通过建构和计算非线性耦合可积系统的一个递归算子来构建一个无穷序列的广义对称，并将这种求递归算子的算法在流行的数学软件平台Maple上开发成软件；2、利用同伦算法思想，改进同伦曲线跟踪方法，特别通过改进李点对称方法，将Lie-B?cklund对称方法应用于同伦曲线跟踪方法从而求近似解析解，通过这些近似解分析扰动项对实际模型的影响；3、对非线性耦合不可积系统研究其混沌性质和动力学行为，并继续深化研究混沌同步的理论及其应用，实现自动推理的过程和算法。

结论摘要：

非线性演化方程特别是耦合非线性模型能更好的描述大气、海洋、气候等方面的问题。对于可积和非可积的耦合方程组，利用对称、控制等方法研究了其动力学行为。对可积耦合非线性系统，建构和计算一个递归算子从而构建一个无穷序列的广义对称。对通常的KdV方程和mKdV方程，建立孤子解与其他波形解如椭圆周期波之间的关系，必须用非经典对称并要涉及到Darboux变换等。本项目通过研究新mKdV方程（联合Schwarzian KdV方程和势修KdV方程），通过求得的递归算子及其逆递归算子，仅仅利用局域李点对称建立起孤子解与其他波形解间的联系。另一方面利用相似对称约化方法，总结出了耦合KdV方程组无穷级数解和相似方程的一般公式。对一些非可积耦合方程组（如出现混沌现象），因在很多工程和其他问题中，需要控制混沌现象的发生。针对连续的混沌系统，已经涌现了很多同步与控制的方法。最近离散混沌系统越来越引起人们的重视，一种不需要调控任何参数的控制方法得到广泛应用。利用这一有效方法，通过数学机械化实现了对二维离散Fold混沌系统和三维离散超混沌系统的控制，并模拟出控制效果。此外，因已经提出的求解算子方程的经典再生核方法直接应用于奇异摄动延迟初值问题，得不到理想的数值近似，基于经典的再生核方法，本项目提出了求解奇异摄动延迟初值问题的多步再生核方法，通过该方法可以很方便地得到奇异摄动延迟初值问题的高精度的近似解。