中文摘要：

数值天气预报与气候预测是我国气象现代化的主要内容之一,条件非线性最优扰动（CNOP）是可预报性研究中的新概念。由于大气运动模式的高度非线性，研究并找到可揭示大气非线性本质，适合于大气模式的稳定且能长时间准确积分的数值算法是个非常有意义的课题。本项目研究非线性最优扰动理论新方法，涉及偏微分方程支配下的非线性最优化问题的数值算法研究；确定切线性模式失效的数学条件；通过考察基本数值天气预报模式支配下的人工物理约束最优控制问题，设计和发展不使用伴随模式且具有并行本性的数值方法到精细数值预报模式，在保持物理性质和稳定性的同时，可以对精细化技术产生的大量数值计算进行高效处理，从而探求不同数值预报模式的准确性，揭示其非线性物质机理，寻找减少数值预报不确定性的数学方法，为我国设计高效、精确、稳定的数值预报模式提供新的思路。

结论摘要：

在国家自然科学基金资助下，我们主要做了如下三方面的工作（1）在程序设计方面我们设计编写完成了固壁边界条件下二维正压准地转模式的切线性模式、伴随模式和非线性模式；球面上正压准地转线性和非线性模式；Lorenz模式。（2）在数值模拟方面我们已经完成固壁边界条件下二维正压准地转模式和球面上正压准地转模式的非线性最优扰动的数值模拟；对于中波和长波扰动，考察了系统能量和涡度拟能随时间的变化情况；对于随机初始场情况的线性和非线性发展得到了较为丰富的结果；基于切线性模式失效的数学条件研究的困难性和复杂性，我们采用洛伦兹模式作为研究的出发点，得到初始扰动、积分时间和基态对于切线性模式失效的数学条件。为复杂的问题的研究积累了必要的理论分析和数值模拟研究基础。（3）在理论分析方面对于地球流体力学中重要的一类QG流，构造了球面上QG 流体运动方程的傅里叶有限体积元格式，该方法有效克服了极点问题，可以进行长时间、保系统能量和涡度拟能守恒的数值模拟，为非线性最优扰动方法在数值天气预报中的应用奠定了扎实理论基础；对于描述大气和海洋科学中某些现象的非线性黏性波方程，设计了守恒有效的多步有限差分分数步长方法；为了实现数值计算的并行性，我们提出了一种新的分数步区域分解并行解法，该方法克服了由内边界点的计算而受到CFL 条件的严格限制，可以实现大步长并行计算；提出二阶有限体积元方法、迎风有限体积元方法，有效消除界面处数值震荡并抑制数值计算震荡，较好模拟波运动的物理本质。并给出了误差分析和收敛性分析新结果；针对随机波方程，给出了随机有限体积元和蒙特卡洛有限体积元格式，较好的模拟了随机波运动的物理本质；得到了Lorenz模式切线性失效的数学条件，为我们找到QG模式的切线性失效的数学条件奠定了基础。由于随机性是大气运动的本质和重要特性，对于随机QG模式进行数值格式的构造和理论分析将是个重要的研究方向。课题组发表学术论文27篇，其中被SCI收录18篇,EI收录1篇。