中文摘要：

随机非线性动力学的理论和应用研究是当前国际上非线性领域的前沿课题，其主要研究白噪声特别是Gauss白噪声激励下的随机分岔与混沌等非线性系统的随机动力学。本项目旨在研究各类色噪声激励下的非线性系统。以典型实与复系统在Gauss色噪声与非Gauss噪声(如Lévy噪声和Poisson噪声)激励下的研究为切入点，建立和发展随机实与复动力学系统的规范形理论，研究随机实或复系统的随机分岔与混沌及其控制；基于一些范例系统如（复）Duffing系统在非白噪声作用下的研究，讨论噪声强度及噪声关联强度和时间对系统动力学的影响如噪声诱导混沌与随机共振，探讨和发现Gauss色噪声与非Gauss噪声对非线性系统的噪声作用机理；提出和建立色噪声作用下的一般阻尼双稳系统和高维随机系统的近似解析方法。经过三年的研究，初步建立一套色噪声如Gauss色噪声与Lévy噪声激励下非线性系统研究的理论与方法。

结论摘要：

项目研究了不同类型色噪声激励下非线性系统的随机动力学。按照研究计划，完成了近似解析方法，随机分岔，分数阶系统的混沌与控制，首次穿越时间，随机共振和随机爱情动力学模型等研究。具体的有 1.利用建立的随机平均法推导了一类双稳Duffing–van der Pol振子的平均FPK方程，得到非线性系统稳态概率密度的解析表达式，理论和数值都验证了高斯色噪声的相关时间和噪声强度均可诱导系统出现随机分岔，并讨论了随机分岔两种定义的关系； 2.研究了参数随机系统的Hopf分岔控制.以随机van der Pol系统为例，应用泛函分析等工具得出了含随机参数的非线性动力系统的等价确定性扩阶系统，在此基础上研究了参数随机动力系统的Hopf分岔控制. 3.针对一类欠阻尼双稳系统，研究了非对称弱二值噪声激励下的随机共振现象. 通过计算系统的输出响应和平均功率谱，讨论了弱二值噪声的噪声强度、非对称度和系统驱动频率对随机共振机理的影响. 4.针对一类含有分数阶的非扩散典范Lorenz系统，从理论方面严格证实了该分数阶系统存在混沌现象，同时数值结果也验证了理论结果. 进一步利用反馈控制技术对控制问题做了研究，并用仿真结果说明了方法的有效性. 5.建立了随机加性和参激噪声下的爱情模型（model of love），分析了系统的动力学特性，讨论了噪声对动力学行为演化的影响，揭示了随机噪声在社会心理学模型中的作用机理. 同时也讨论了分数阶爱情模型的动力学. 6.考虑了非高斯Lévy噪声作用的基因调控模型，讨论了稳定性指标等不同噪声参数对基因开关的作用机理；研究了非高斯Lévy噪声激励下非对称双稳系统的相转移和首次逃逸问题，发现了非对称参数、噪声强度和稳定性指标对系统的不同作用机理. 7.对非高斯Lévy激励的一类随机微分方程系统，从理论上建立了随机动力系统的平均原理，证明了平均后的系统与初始系统解的均方收敛性，为进一步从解析方面研究非高斯Lévy激励下的动力学奠定了基础. 通过项目组的努力，获得2项软件注册权，申请2项发明专利（已公开），主办2次国际会议；在Physical Review E, Physica D, Chaos, Nonlinear Dynamics, Physics Lett A, IJBC,JSV，物理学报和中国科学等国内外期刊发表论文30余篇，其中SCI 收录20余篇.