中文摘要：

本项目研究最一般的非齐次和齐次细分方程在$L_p(1\leq p\leq\in)$空间,Sobolev 空间$W_p^k(R^s)(1\leq p\leq\infty)以及Besov 空间中解的存在性,解的光滑性.给出与方程(I)和(II)相关的联级序列在上述空间中收敛的充要条件和收敛阶.我们也研究Subdivsion 算子谱的性质,这些性质有利于构造方程(I)和(II)的光滑解.我们将方程(II)的光滑解应用于CAGD理论的研究中,也将由这些光滑解生成的正交小波和双正交小波应用于微分方程数值解的研究中.最后将由方程(I)和(II)在Sobolev 空间$W_2^k(R^s)$中的解生成的正交小波应用于数据处理,图像处理及非线性逼近理论的研究中.项目的研究内容不但是小波理论,分形理论以及函数逼近论理论的实质性扩充,而且我们相信这些理论在微分方程,图像处理,CAGD 领域中均有重要的应用.

结论摘要：

在本项目的支持下，项目组成员系统地研究了一般向量细分函数的双正交性，给出了由细分函数产生双正交小波的构造性方法，研究了细分算法的收敛阶及一般向量细分方程L_p解存在的刻画条件，也给出了具有非负面具细分方程具有连续解的刻画条件。在细分面具是无限的情形下，给出了与一般向量细分方程相关的细分算法在L_2空间收敛的充要条件，从而在细分面具是无限的情形下也给出了L_2解存在的刻画条件。此外，研究了采样理论中的若干重要问题，例如在由多个生成子产生的平移空间内，刻画采样集条件，给出了重构算法等。这些成果都是小波分析理论与采样理论中的基本核心问题。