中文摘要：

延迟微分方程数值方法的延迟依赖稳定性能提供数值方法的完整稳定特性。但由于理论分析的困难性，该研究迄今局限于常系数线性标量模型方程。本项目致力于多维延迟系统数值方法的延迟依赖稳定性分析。我们将对线性问题和非线性问题分别展开研究，分析配置方法、线性多步方法、单支方法等多类重要算法的延迟依赖稳定性。同时，还将对随机延迟系统引入该类研究，调查Euler-Maruyama方法、随机Theta方法等常用算法的延迟依赖稳定性。本项目将为多维延迟系统和随机延迟系统数值方法稳定性分析建立新的有效研究途径，从实质上推动该领域研究向纵深发展。所获成果理论上将进一步丰富和发展延迟微分方程数值和解析稳定性理论，实践上将在自动控制、航空航天、计算生物等工程领域具有广泛应用前景。

结论摘要：

本项目重点研究延迟微分方程的数值稳定性。我们的研究包括确定性微分方程和随机微分方程两方面的内容。对确定性方程，我们证明了两个差分格式能无条件保持延迟抛物型模型方程的延迟依赖稳定性，这也是有关任意时间步长情形的第一个延迟依赖稳定性结果。我们的研究还包括高阶时间离散格式对一类多维线性系统的延迟依赖稳定性，二阶延迟方程数值方法的延迟依赖稳定性，非线性中立型方程的解析和数值稳定性。此外，我们还研究了延迟抛物型方程Schwarz波形松弛算法的收敛性及拟最优算法，分数阶积分微分方程的配置方法，以及非线性代数方程组的高效迭代解法。对随机延迟微分方程，我们提出研究数值方法的延迟依赖稳定性这一新课题，获得随机theta方法对一类标量模型方程的完整延迟依赖稳定区域，对一类多维非线性随机延迟系统证明随机向后欧拉方法能保持真解的延迟依赖稳定性。对随机常微分方程证明当theta>0.5时分裂步theta方法能保持一般多维线性系统和一类非线性系统的指数均方稳定性。我们还研究了随机延迟积分微分方程数值方法的稳定性以及解随机微分方程的parareal算法。此外，对随机泛函微分方程理论解的存在唯一性、矩稳定性和几乎必然稳定性获得一系列新结果。我们已完成研究计划，达到预期目标，并增添了部分研究内容。本项目共发表期刊论文26篇，其中SCI论文21篇，部分发表于国际高水平刊物。所获结果丰富了延迟微分方程和随机微分方程算法理论，在自动控制和计算生物等领域也具有广泛应用前景。