中文摘要：

U系统是一类分段多项式组成的完备正交函数系。用它表示具有强间断特性的几何图形或信号时，不会产生像Fourier三角基一样的Gibbs现象，其收敛速度也要优于Walsh系或Haar系。本申请将打破U系统的基函数分段点在二进制有理数点处的限制，拓广与发展U系统的优势，研究一种自适应地构造N进制U系统的构造算法，并研究它们的收敛性与计算。该算法也可以构造一类N进制的多项式多小波，并可建立多项式多小波的级联算法与N进制U变换之间联系，从而可解决U正交变换的计算问题。进一步地，寻找构造非均匀步长的分段多项式正交系的构造算法，研究其广义Fourier级数的逼近误差，为应用研究提供理论依据。由于N进制U系统与N进制分段多项式多小波有良好的数据逼近性能，由此可以用它们的有限项描述几何图形，得到一类形状分析的分段多项式描述子，并研究它们在神经网络与模式识别中的应用。

结论摘要：

在平方可积函数空间中，平方可积函数可以表示成基函数的线性组合，如果这种表示的收敛速度快，那么可用少数几个基来描述该函数，也就是说，用正交基表示信号就可以简化处理。用Fourier三角基在表示非连续信号时，会出现Gibbs现象，而Walsh系与Haar系的基函数是分段常量函数，收敛速度慢。U系统与V系统是分段多项式正交函数系，在信号表示过程中不会出现Gibbs现象，收敛速度也快。U系统与V系统是分段点在二进制有理数处的正交多项式函数系，在逼近间断点不在二进制有理数处的信号或几何图形时，收敛速度会大大降低。正交函数系可以广泛用于信号与图像处理、函数空间的刻画以及积分方程的求解等，因此，构造正交函数系是数学理论与应用研究的重要问题。 本课题主要研究分段多项式的构造算法及其应用。首先，研究了自适应正交多项式函数系的构造算法，该算法可根据信号的奇异性构造不同的分段多项式正交函数基。其次，给出了二进制分段正交函数系（不是多项式正交函数系）构造算法，所构造的U系统是由一类变换算子生成，而正反复制是该生成算子的特例。再次，我们用多小波构造的矩阵扩展算法给出了N进制分段正交函数系的构造算法，并得到了构造算法能形成N进制U系统的充分条件。第四，利用Franklin函数构造出了一类正交样条函数系，同时构造出了二维平面上的Franklin矩。第五，得到了一类显式的Hermite插值基函数。第六，给出了二维平面上的一类新的矩函数（V矩、旋转不变V矩）。 课题组还对计算机病毒模型、分数阶边值问题的求解、模糊度量空间的不动点定理进行了研究。用迭代技术给出了一类分数边值问题的正解存在的条件，用变分方法和迭代技术得到了非线性分数边值问题解的充分条件，得到了Riemann-Liouville分数边值问题的连续解的存在性，这些结果在分数边值问题中都全新的。从理论上证明了计算机病毒脉冲控制模型与随机模型的无病毒平衡点的全局稳定性与有病毒平衡点的持久性，给出了完全星形图和完全二部图在不同感染率下的固定概率计算方法，该研究为计算机病毒防治与免疫提供了理论指导。通过定义一种新的模糊度量，得到了该度量空间的不动点定理，这项工作为模糊空间分析与描述提供了一种新的工具。