中文摘要：

Bernstein-Gel'fand-Gel'fand证明了射影簇的有界凝聚层的导出范畴等价于某个自入射代数的稳定范畴这一著名的定理，它表明了自入射代数及其表示对非交换代数几何研究具有重要意义。代数表示论在过去三十年取得了巨大的进展，我们最近发现，著名的驯化遗传代数及其表示分类可用有限复杂度自入射代数表示得到，并提出了应用复杂度对自入射代数及其表示分类的问题。本项研究应用代数表示论的已有成果和我们的引入和建立的Koszul自入射代数有限复杂度理论方法，从其Koszul管范畴出发，试图研究一些有限复杂度自入射代数的表示分类。同时我们还将研究McKay箭图和McKay对应与这些表示的联系。这一研究不仅将开拓自入射代数表示的研究的新领域，为代数表示论研究提供新的理论和方法，而且对非交换代数几何及数学物理的研究，也会具有促进作用。

结论摘要：

有限复杂度Koszul自入射代数对于研究凝聚层的导出范畴具有重要意义。本项目主要研究有限复杂度Koszul自入射代数的第一个模型-外代数和其上的Koszul模的性质。我们对代数闭域上的外代数Koszul模的结构及Koszul模范畴研究取得了较大进展。推广驯化遗传代数管范畴理论，得到了复杂度为一的Koszul模范畴的分类和刻画；推广了有限维代数表示维数向量的概念和Coxeter变换方法，建立研究外代数上Koszul模及其Syzygy的滤结构框架。给出了有限复杂度自入射Koszul代数的对偶代数成为非交换整环的条件，并用它证明了连通Artin-Schelter代数是整环。另外，我们还计算了遗传代数例外序列自同态环的Hochschild同调和上同调群。研究了路余代数及其商余代数的Hochschild上同调。对极小无限表示型连通代数，解决了Skowronski的猜想。证明了交换标准分层代数的模与其多项式模滤链维数相同；给出代数A(m)的形变与障碍的关系.还求出了管范畴霍尔代数的中心，研究了一些无限维李代数的结构。