中文摘要：

差集与（广义）Bent函数是密码学中两个重要且热门的研究课题，它们在对称密码的设计中有重要的应用。例如利用差集可以构造一些具有良好相关性质的序列，利用（广义）Bent函数，完全非线性函数可以构造一些好的认证协议等等。在一定条件下，差集，Bent函数，完全非线性函数的存在性是等价的，可以相互构造。本课题主要研究差集与Bent函数以及其他一些重要的密码函数的性质与构造。利用有限域和Galois环上的代数与几何结构及其算术性质，构造差集，Bent函数等；利用群论，代数数论，代数几何等知识，分析一些理想类群的结构，确定一些代数曲线的分类，决定一些指数和的分布，决定一些Diophtine方程的解数，由此得到关于差集与Bent函数的存在性结果，最后利用这些结果构造一些好的循环码，确定这些码的参数，构造一些认证体系等。

结论摘要：

差集和Bent函数是组合学和密码学中两类重要的并且有关联的研究对象。例如，在密码学中广泛研究的（广义）Bent函数等价于一些特殊差集的存在性。利用差集可以构造出一些具有良好性质的序列及认证码等等。本项目主要研究差集和Bent函数以及其他一些重要的密码函数的联系，利用有限域上的一些几何结构，如代数曲线，空间结构等等来构造差集，同时利用差集和置换多项式来构造一些（广义的）Bent函数，正规Bent函数，完全非线性函数（平面函数）等等。我们对有限域上一类重要的指数和--Kloosterman和得到了一系列好的结果，利用这些结果我们构造了一类bent函数，得到了一些函数是bent或者semi-bent的判定条件。同时对一些混合指数和我们给出了它们的递推公式以及上界；我们构造了有限域上一些不可约多项式与置换多项式，利用这些结果我们可以构造一些密钥交换协议；我们对有限域上几类方程的解的个数给出了明确的计算公式；同时我们也给出了一类循环码的重量分布；利用利用超椭圆曲线和Dickson多项式构造了一些Singer差集；我们与香港科技大学的丁存生教授合作完成了对几类不可约循环码的极小幂等元和重量分布的研究，得到了幂等元的明确公式。另外我们利用分圆数构造了一些广义差集，研究了他们对应序列的线性复杂度等密码指标。完成了一部专著--《代数密码学导引（上）》的写作，正在联系出版的事宜。对于广义bent函数，项目合作者岳勤教授将这类函数的存在性转化为一些丢番图方程的解的存在性，然后利用类域论的方法给出了广义bent函数的存在性的判定条件。同时他还利用分圆类构造了强正则图。