中文摘要：

本项目旨在研究无界区域上多尺度问题的数值模拟方法，重点考虑的偏微分方程（组）包括标量椭圆型方程、弹性方程组、标量扩散方程和多孔介质中的流体输运方程。工程领域中的许多问题，在建立适当的偏微分方程（组）模型之后，都需要求解一些定义在无界区域上的偏微分方程（组）。由于问题自身包含两个或多个相差极大的尺度信息，使得我们对这类问题的数值模拟面临两方面的困难。其一是区域的无界性使得传统的有限元和有限差分无能为力，其二是多尺度中小尺度的存在使得计算的未知变量爆炸性的增长。对于前者我们将采用人工边界方法予以克服，而对于后者，我们将充分利用多尺度有限元方法研究已有的成果。如何将两者有机地结合起来是本项目所要解决的关键问题。由于相关文献至今未见，因而本项目的研究不仅具有重要的现实意义，而且对计算数学的发展也有重要的价值。

结论摘要：

工程领域中的许多问题，基于连续介质假设建模后，往往需要求解定义在无界区域上的偏微分方程。一个典型的例子为飞行器的绕流问题。当问题包含多个尺度信息的时候，数值求解这些问题面临两方面的困难。其一是区域的无界性，其二是小尺度的存在使得计算的未知变量爆炸性的增长。本项目旨在发展求解这些问题的人工边界方法。对于无界区域上的若干一维非线性可积方程，我们找到了精确的便于计算的人工边界条件。对于一般的高维Schrodinger和耦合Schrodinger方程，我们利用PML技术，设计出高精度的PML吸收层。对一维周期结构问题，当线性方程的系数对称时，我们首次给出了准确的解析边界条件。对高维周期结构问题，我们提出了一个快速的得到DtN型边界条件的方法。我们也研究了Maxwell-Dirac系统在半经典极限和非相对论极限下的数值模拟方法，提出了基于算子分裂的空间拟谱方法。此外，我们还给出了三维各向同性弹性方程组的级数形式的人工边界条件，分析了椭圆方程有限元与无限元耦合方法的精度，发展了半阶导数的快速算法。