中文摘要：

已知的复乘理论很好地回答了虚二次代数数域的abel类域的具体构造的问题。而现有的猜想（比如Stark猜想）和一些著名的数学家的工作(比如H.Darmon和Y.Manin)则指出，对于其他的代数数域，比如实二次数域，它们的abel类域也可以由类似解析函数的一些特殊的函数的函数值生成。近年来，关于如何把复乘理论推广到一般数域的问题，即所谓的实乘理论，国外进行了大量的这方面的尝试，并且得到一些非常深刻的结果。此类研究的难点显而易见，对于实二次域中的理想类，将无法在传统的代数几何范畴中找到类似于椭圆曲线和模曲线那样满意的对象与之对应。在本项目中，我们将通过研究复上半平面上的封闭测地线的代数几何性质，并用积分方法构造其不变量，最终将其用于实二次代数数域的类域的具体构造。关于实乘理论方面的研究，将非常有利地增加人们对于数论中已知定理和一些非常著名的猜想的理解，比如类域论和关于实二次域的Gauss猜想。