中文摘要：

图的谱理论是图论和组合矩阵论的重要研究领域之一，也是代数图论中的一个研究热点，在量子化学、物理、计算机科学、通讯网络以及信息科学等领域中均有广泛的应用。它主要涉及图的邻接谱、 Laplace 谱和距离谱等。特别地，关于图的 Laplace 谱和距离谱的研究不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的实际意义，是一个很有价值的研究课题。本课题将利用成熟的代数理论，结合图的结构性质和组合论以及矩阵论(尤其是非负矩阵论和组合矩阵论)来研究一些图类分别关于Laplace 谱半径和距离谱半径的极值图；研究一些大图的距离矩阵的惯性；研究一些距离矩阵正惯性指数为1的图类，并进一步确定图的其它不变量与距离矩阵惯性之间的联系。

结论摘要：

本项目计划研究内容为一些图类关于Laplace谱半径与距离谱半径的极值图；研究一些大图的距离矩阵的惯性；研究一些距离矩阵正惯性指数为1的图类，进一步确定图的其它不变量与距离矩阵惯性之间的联系。在基金委的资助下，我们主要确定了给定直径的图中唯一取得最小距离谱半径的极值图以及在给定六边形个数的cata型六角系统中唯一取得最大距离谱半径的极值图，这部分内容已经在《Linear Algebra and Its Applications》正式发表。另外，我们还分别研究了仙人掌图、一些大的化学图（Coronene系列中的第n个苯图）以及任意两个图做笛卡尔积运算后所得图的距离矩阵的惯性，这部分内容已经投稿到《Discrete Mathematics》。最后我们研究了与轮图相关的一些图的距离矩阵的惯性，并给出了距离矩阵正惯性指数为1的一些图的构造，这部分内容已经投稿到《Journal of Applied Mathematics》。综上所述，我们按照项目的研究计划，完成了项目的预定任务。