中文摘要：

量子测度与量子积分是量子力学的数学基础之一，是目前量子信息、量子通讯等重点科学问题的重要的理论依据。由于在微观世界中，量子之间相互干扰，相互纠缠，对一个子系统的测量结果无法独立于其他子系统的测量参量，因此，在量子世界中，测度不再满足可加性。为了克服此缺陷，我们将集函数的自连续性，一致连续性，零可加性，伪零可加性等性质引入到量子测度当中，用以刻划量子测度的宏观与微观结构；研究量子测度的Hahn分解，Jordan分解，Radon-Nikodym定理及Radon-Nikodym导数等问题；同时，进一步研究量子积分的运算性质，收敛定理及如何由量子积分来定义量子测度；为了弄清高维量子测度与低维量子测度之间及量子重积分与量子累次积分之间的关系，将开展对乘积量子测度的研究，得到类似于Fubini定理的结果。

结论摘要：

量子信息学是一门以量子力学原理解决经典信息学和经典计算机所不能解决的问题的学科，是量子力学和信息学的交叉科学。由于其潜在的应用价值和重大的科学意义，量子信息学最近十几年来迅速发展，正在引起各方面越来越多的关注。 量子测量理论是研究量子信息论中其它问题的出发点。为了研究量子测量理论，数学家Gudder引入序列乘积的概念，即对量子效应A和B，定义$A\circ B=A^{1/2}BA^{1/2}$ ，其物理意义为先测量A，再测量B，它描述了量子力学中量子测量对于量子的干扰。物理背景要求此序列乘积关于强算子拓扑是二元连续的。而作为量子逻辑重要的内蕴拓扑，如弱算子拓扑、序拓扑、区间拓扑等，能否使得序列乘积具有连续性，我们进行了深入详细的讨论，给出了较完善的结论。 Schur-Weyl对偶理论在量子信息和量子计算理论中起着重要的作用，而且在数学的不同分支中也都有重要的应用。经典的Schur-Weyl对偶定理如下设$\mathcal{A}=Alg\{Q(U):U\in U(d)\}$, $\mathcal{B}=Alg\{P(\pi):\pi\in S_n\}$，则$\mathcal{A}'=\mathcal{B}$ and $\mathcal{B}'=\mathcal{A}$. 特别是在2013年，Marvian等人利用规群的定义，建立了一个广义的Schur-Weyl对偶，提升了经典的Schur-Weyl对偶。我们建立了一个新的广义Schur-Weyl对偶理论，包含了经典的Schur-Weyl对偶和现有的广义Schur-Weyl对偶，进一步扩大了该理论的应用范围。 可观测量是用Hilbert空间上自伴算子来描述。 2006年，数学家Gudder研究了有界自伴算子集合$S_b(\mathcal{H})$，并证明其构成了一个量子逻辑。然而，很多可观测量只能用无界自伴算子来描述。例如，在著在著名的Heisenberg关系中， $QP-PQ=-i\hbar I$，其中Q和P都是无界自伴的。我们主要作了如下方面的工作建立了包含无界量子观测的量子逻辑；给出了其上的逻辑序和通常序，并对两个偏序进行了研究；给出了逻辑序的物理解释；证明了量子观测的上、下确界的存在性；利用Heisenberg关系证明了$Q\wedge P=0$。