中文摘要：

本项目主要研究树逼近的理论，快速计算和它在偏微分方程数值解法领域的应用。我们将研究树结构和逼近误差的关系，建立树逼近的误差分析基础理论，并且研究如何快速构造高维非规则几何区域上函数的树逼近。最后，我们将研究如何应用树逼近去求解非线性偏微分方程。 本项目具有先进性和深度，是非线性数值逼近理论的重要发展，将对偏微分方程数值求解，信号和图像处理都有重要的理论指导意义和实际应用价值。

结论摘要：

本项目主要研究如何利用树逼近的理论去构造求解偏微分方程的自适应算法。 我们把树逼近理论和有限体积法相结合，构造了求解椭圆形问题的自适应有限体积法。我们把树逼近理论和有限元方法相结合，构造了求解带奇异摄动问题的反应-扩散方程的自适应有限元算法。这些算法的计算复杂性和收敛阶的最优性被严格用理论进行了论证，也被用数值试验进行了证明。