中文摘要：

用样条构造复杂几何模型是当今CAD发展面临的一大挑战。应对挑战的出路是建立新的几何数学模型，点集B样条应运而生。点集B样条具有能在任意点集上定义，与点集三角化无关，亦无需添加辅助节点等优点，它还包含一元B样条为特殊情况。因此，点集B样条能克服张量积B样条和以往非张量积样条的缺点，其构造复杂曲面的潜力是突出的。本项目首先深入研究基于Delaunay结构的单形样条空间的逼近性质并提出有效算法。其次，总结已有样条的构造经验，提出新的点集B样条空间。该空间要可以在任意点集上定义，其中包括重节点和均匀节点的情况，基函数要具有权性与线性无关性等基本性质。再次，要设计点集B样条的高效求值、求导、求积等应用算法，发挥其可以在任意点集上构造曲面的特点，建立富有特色的理论体系。最后，将点集B样条理论初步用于解决地球科学中的重力场重构问题，推动学科间的交叉合作，使点集B样条在CAD、地球科学等领域中发挥作用。

结论摘要：

构造适合复杂几何造型的几何模型是当今样条理论发展急需解决的问题之一。本项目深入研究了基于Delaunay结构的单形样条（DCB样条）的性质，首次提出了DCB样条在球面参数域上的推广，设计了球面域上定义的样条函数节点子集的高效计算方法与自适应的节点插入方法；推广了DCB样条的构造，克服了DCB样条控制顶点几何意义不明确的缺点，设计了两种几何直观性强的点集B样条曲面构造方法，并提出有效的计算方法。一是从三角网格出发构造连续的有理样条曲面的方法，得到的曲面以输入的三角网格为控制网格，其形状与控制网格相近，且可通过直接调整控制顶点位置来修改；二是从点集上直接定义样条函数，通过增加适当的辅助控制顶点，使得到的点集B样条曲面的控制网格具有三角网格的拓扑结构。深入研究了新的点集B样条的理论及算法，将其应用于解决三维离散数据的拟合等问题。在数据拟合的应用中，优化了点集B样条的节点集合的选取方法，使得样条空间的构造依据拟合数据的潜在信息，如几何特征、拟合误差等来构造，从而使得点集B样条曲面在构造几何特征等方面比DCB样条具有优势。深入研究了点集B样条节点设置的变分方法理论，将其思想推广到二维、三维空间及一般流形曲面上，用于高质量的网格生成、分片函数逼近等问题。