中文摘要：

本项目将探讨积分几何中的不变运动公式. 我们首次给出实空间形式中关于一类高阶(4阶以上）积分不变量的运动公式的具体形式（即确定公式中的系数），该积分不变量由实空间形式中的高阶不变齐次多项式在交子流形上积分得到. 这是运动公式中的难点之一. 所取得成果将把H.J.Kang, T.Sakai, Y.J.Suh等人在文[7]中的结果由2阶部分推广到2n阶，并为解决实空间形式中更一般的高阶积分不变量所对应的运动公式的具体形式奠定基础. 其次我们研究运动公式中涉及到的另一不变量，即平均曲率积分. 鉴于与凸体均质积分之间的紧密联系（即Cauchy公式），它们成为研究凸体理论的重要工具. 我们将探讨凸体及其投影体的外平行体的几种平均曲率积分之间的关系，从而推广Santalo, Li 和Zhou，Zhou 和Jiang 等人的工作，以丰富凸体理论，并为探讨与该不变量相关的运动公式奠定基础.

结论摘要：

本项目探讨积分几何中的不变运动公式。我们首先给出实空间形式中一类高阶积分不变量所对应运动公式的详细形式（即确定公式中的系数），其中的积分不变量由实空间形式中的高阶不变齐次多项式在交子流形上积分得到。所取得成果将 H. J. Kang, T. Sakai, Y. J. Suh 等人的工作由 2 阶部分推广至更高阶，为探讨实空间形式中更一般的高阶积分不变量所对应运动公式的详细形式奠定了一个良好的基础。其次我们探讨了运动公式中涉及的另一不变量，即平均曲率积分。鉴于与凸体均质积分之间的紧密联系，他们成为研究凸体理论的强大工具。在本项目中，我们探讨 n 维欧氏空间中一类平坦凸体的平均曲率积分，得到了它们与其它类型平均曲率积分之间的关系，并且计算出了这些平均曲率积分的均值。所取得成果推广了 Santalo, Li 和 Zhou, Zhou 和 Jiang 等人的工作，并为探讨与之相关的运动公式奠定了基础。最后，我们探讨了运动公式在几何学及其它领域中的一些应用。利用周家足教授关于包含测度的思想，我们得到了等周亏格的一些上界估计，推广了周家足教授和任德麟教授的工作。另外，我们还得到了平面紧集的等径不等式和 Bonnesen 型等径不等式。