中文摘要：

动力学稳定性问题一直是动力系统研究的中心问题之一。用变分理论研究正定高维Lagrangian系统中的不稳定问题是其中重要且极具前途的方法之一。核心问题在于连接轨道的构造，其构造基于两种，一种称为异宿轨连接，一种称为c-等价连接。其中一些重要的问题尚未得到完满的解决，如在通有的情况下障碍函数关于上同调类的正则性以及对于共振向量，Aubry集的相对同调群的非平凡性。为此，我们将主要用变分法，结合弱KAM理论，半凹函数理论以及维数理论等就这些问题展开研究。此外，通过深入探讨 -函数平台和极小同宿轨之间的关系，我们也考虑在某种通有条件的保证下，将异宿轨道的连接纳入c-等价连接，从而为gap problem的解决提供另一种方法。而在 -函数平台的拓扑结构与Hamilton系统的不稳定性研究中，我们也能期待一些深刻的结果。

结论摘要：

在本项目中，我做的主要工作工作如下一.研究了先验稳定情形下多个自由度（大于或等于3）自治正定Hamilton系统中扩散轨道的通有存在性，而以往关于扩散轨道的工作大多集中于先验双曲情形。我们通过KAM迭代寻求适当的规范型，并验证了通有扰动下大量长度量级为1的法向双曲不变柱面的存在性，借助法向双曲不变柱面的结构，我们验证了通有扰动下的广义转移链的存在性，从而可用变分法得到所需结论。相关论文已投稿。二.弱KAM理论通过研究作用量极小曲线的动力学行为，在Mather理论及传统研究Hamilton-jacobi方程所采用的PDE方法中建立起来桥梁，在这方面，我做的工作如下 1.研究了多自由度下时间1-周期Lagrange系统中Mather集的动力学性质（旋转向量）和Lax-Oleinik半群的收敛性之间的关系，其中Lax-Oleinik半群的收敛性在弱KAM理论中起着核心作用。这主要是通过建立Mather集旋转向量与相应的alpha-函数平台维数之间的关系得到的。在一般的情形下，由于Mather集在高维Lagrange系统里的复杂性，在时间周期系统里，我们得不到Lax-Oleinik半群的收敛性。因此，我们找到了其特殊子列的收敛性，并且说明了这样的收敛是非平凡的。我们证明了该特殊子列收敛的极限是相应的Hamilton-Jacobi方程的时间周期粘性解。该子列的选取依赖于构形空间上的点，我们举例说明了一个不依赖于点的收敛子列收敛到非时间周期的粘性解。相关论文已发表。 2.研究了弱KAM理论在Hamilton_Jacobi方程中的应用及最新进展。该论文已接收。