几何中的非线性偏微分方程-东篱科研大数据发现系统（DRDS）

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几何中的非线性偏微分方程

项目名称：几何中的非线性偏微分方程
项目类别：面上项目
批准号：10371011
申请代码：A010801
项目来源：国家自然科学基金
研究期限：2004-01-01-2006-12-31

项目负责人：保继光
负责人职称：教授
依托单位：北京师范大学
批准年度：2003

中文摘要：

几何中的非线性方程主要是指Monge-Ampere方程和Special Lagrangian方程等Hessian型方程. 它们分别对应于预定Gauss曲率的曲面和高余维的极小子流形. 近几年来, 与之相关的问题已经或正在成为国际数学界的热点. 本课题组将在申请人已有工作的基础上, 综合地运用分析(实或复), 几何, 代数, 数值计算等手段, 讨论这些方程解的性质. 预计首先在混合型Monge-Ampere方程解的存在性, Special Lagrangian方程的多解性, 强解的正则性理论, (广义)Bernstein定理等方面取得进展. 在此基础上探索小能量正则性和blow-up分析. 这些问题在Hessian商方程和曲率商方程上的推广, 以及在流形上的应用也将被考虑.

中文主题词：正则性；Hopf引理；Hessian方程；平均曲率

英文摘要：

Regularity; Hopf Lemma; Hessia

英文主题词： Regularity; Hopf Lemma; Hessia

结论摘要：

本项目组研究了几何学、天文学、生物学、图像处理中的非线性偏微分方程，在理论和应用上都做出了较好的工作，在国内外学术期刊上共正式发表论文52篇。（1）在与几何有关的非线性偏微分方程方面取得了一系列进展。项目组证明了Hessian方程和Hessian商方程强解的正则性和Liouville性质；解决了Li-Nirenberg公开问题，简化了条件，建立了新形式的最一般的二阶完全非线性微分算子的边界点引理；在"不旋转坐标系"的情况下，给出了一维广义Hopf引理的证明, 再次证明了当平均曲率在一个方向单调时，曲面关于该方向是对称的，推广了Alexandrov 在1958年的经典结果（常平均曲率的闭曲面是球面）；证明了Monge-Ampere方程解梯度的Holder正则性，将Caffarelli的有界性改进为p可积条件。（2）在偏微分方程的应用上获得一批成果。项目组还在Rotating Star问题、天气预报中的数学模型、种群动态模型解的渐近性质、图像处理、地下煤火的探测问题、加权Hardy空间的性质、神经网络系统的同步问题、心脑血管疾患的数值模拟等方面做出了一系列成果。

成果综合统计