中文摘要：

周期结构在光学工程，半导体物理，无线电通讯和原子物理等诸多领域有着重要的应用。本项目旨在为周期结构中波的数值模拟提供系统而高效的解决方案。考虑的方程包括Helmholtz方程，电磁波方程，声波方程，弹性波方程和Schr?dinger方程等。考虑的问题包括电磁波导管问题，量子波导管问题，光栅衍射问题，量子波函数的演化问题,含周期介质的多体散射问题,周期介质中高频量子波、声波和弹性波的波场模拟问题等。项目拟解决的关键科学问题有二个。一是如何定义和快速计算各种波动方程在无穷周期阵列边界上的散射算子。二是设计出基于高斯波束方法模拟高频波的Euler坐标公式。项目目标的实现不仅会加深周期偏微分方程的理论认知，同时对周期结构的应用研究有着重大的促进作用。

结论摘要：

在本项目的执行期间（2010-1至2012-12），项目组基本完成了项目预设的几项主要研究目标。同时，我们调整了部分研究计划，将研究精力集中在高频波的理论和数值计算上来，取得了一系列的成果。尤其值得强调的是我们发展了整体几何光学方法这一全新的半经典近似理论。 周期介质波动方程的吸收边界条件: 周期介质在半导体物理，光纤通讯和无线电技术等诸多领域具有广泛的应用。我们给出并证明了周期Schroedinger算子解析形式的Weyl-Titchmarsh函数，即DtN算子。对一维周期阵列，给出了计算Sommerfeld-to-Somerfeld形式的边界散射算子的快速计算方法。与已有的基于Dirichlet-to-Neumann型边界散射的计算方法相比，由于克服了椭圆算子本征值带来的困难，我们的方法对任意频率的波都是稳定的。我们首次给出了Bloch波的规范表示和传输方向的确定方法，指出部分文献中基于Bloch波能流方向的确定方法是不完备的。我们提出了周期阵列中缺陷散射的高效计算方法，并将其应用于带缺陷光栅的数值模拟中。此外，我们提出了一个基于linear sampling思想确定周期介质缺陷位置的反散射方法。 高频波半经典近似理论和计算方法: 对于线性高频波方程的边值问题，发展了一套基于Gaussian beam渐进理论的数值方法，并给出了理论分析结果。传统的方法（以有限元方法为例）面临着高频波带来的污染效应。粗糙地说，频率越大，数值解的精度会变得越差。我们的方法的一个显著优点是它是渐进收敛的频率越大，解的相对误差越小。我们的方法的另一个优点是所导出的数值代数问题的规模较小在二维的情况下，自由度的个数只与频率成正比。此外，对于带奇性势的线性Schroedinger方程，我们利用渐进分析的方法导出了奇性界面上的Gaussian beam传输算子与反射算子的关系，分析了Gaussian Beam在奇性界面临进区域的传播行为。我们提出了一个基于参数估计的高频多相函数的高斯光束数值逼近算法，在噪声满足适当的分布条件下证明了该方法能够给出关于波长的一阶渐进逼近。我们提出了整体几何光学方法这一全新的半经典近似方法。这个方法完全突破了经典几何光学在焦散点附近不再适用的限制，给出了整体一致渐进精度的波场近似。