中文摘要：

科学和技术发展中出现的很多数学问题可以转化成多项式方程组求解的问题。如果多项式的系数是准确的整数或有理数，我们可以应用吴-Ritt特征列方法、Gr?bner基方法等来求解。如果多项式的系数有误差，那么必须分析误差对符号和数值方法求解方程组产生的结果的影响。 特别的，对于奇异多项式方程组，它的重根对系数的扰动非常敏感，并且牛顿方法没有二次收敛性。如何设计稳定可靠的快速算法计算和精化奇异多项式方程组的重根是我们的研究重点。我们提出了应用符号延拓和数值消元方法求解对合形式，从而计算奇异零点的重数和所满足的微分条件。对于近似重根，将牛顿迭代推广到相应的局部商环上来提高重根的精度。在理论上首次证明了广义牛顿算法的二次收敛性。针对重根处的Jacobi矩阵的列亏为1的情形（宽度为一）， 我们还提出了一种快速计算孤立重根处的局部对偶空间基底的新算法。新算法的自由度只是变量的个数减1，且算法涉及的矩阵大小与Jacobia矩阵一致与重根的重数无关，所以在存储空间和计算速度上都大大优于之前的算法；特别地，新算法与规则化的Newton迭代相结合，对于宽度为1情形，构造出了新的有二次收敛性的近似重根的精化算法。