中文摘要：

用A无穷代数理论来研究非交换代数中的一些问题的设计已在前一课题(批准号10571152)中实践，其关键作用和重要性在非Koszul正则代数的分类中已有充分体现。本项目研究内容主要有两个方面一是用A无穷代数方法继续研究4维Artin-Schelter正则代数的分类问题，这是非交换射影几何中的一个中心问题，是前一课题的延续；二是利用EXT-代数上的A无穷代数结构解密一些非交换代数(如 Koszul-型代数, Calabi-Yau代数等)深层次信息，并描述它们的同调理论。非交换代数理论的重要性可从它自身的结构和获得广泛的应用来认识数学物理中许多问题用非交换代数理论得以准确地阐述、代数几何中的一些问题可解释为非交换代数中的导出等价、利用量子群理论发现了很多新的拓扑不变量、一些物理现象用非线性方程得以表述等等。因此对非交换代数理论更深入的理解将极大地有益于数学（尤其是代数几何）和物理的一些领域。

结论摘要：

本项目是前一资助项目基础上的延续, 继续研究Artin-Schelter正则代数的分类问题，研究若干代数的A？-代数结构；研究Calabi-Yau代数，以及与Artin-Schelter正则代数和Koszul-型代数之间的联系等. 项目总体上按计划进行, 项目已完成双分次意义下的5维Artin-Schelter正则代数的完全分类，但非双分次Artin-Schelter正则代数的完全分类还有待新方法的发现；Koszul型代数和Calabi-Yau代数的研究方面也获得一些新的成果. 项目在Artin-Schelter正则代数的分类方面的主要成果是完成了两个生成元时, 双分次意义下的4维和5维Artin-Schelter 正则代数的分类.一方面我们给出了二十类5维Artin-Schelter正则代数，它们是双分次意义下的完全分类，另一方面也在双分次范围内完全回答了挪威学者Floystad和Vatne的问题. 最终的成果还未正式发表, 目前正在审理中. 项目的另一方面主要内容是关于自内射代数的稳定范畴的Calabi-Yau性质. 从稳定范畴入手，研究了周期型的Frobenius几乎Koszul代数, 给出了这类代数成为稳定Calabi-Yau代数的充分条件，给出了Auslander-Reiten变换和合冲函子在对象上的具体作用, 讨论了稳定范畴是Calabi-Yau范畴的 tame型自内射代数，及相应的Calabi-Yau代数的Koszul性质. 我们推广了Berger的N-Koszul代数，将以往仅考虑pure的情况发展到non-pure的情况, 这是Koszul对偶理论用于non-pure对象的开创.