中文摘要：

本项目主要研究几类失去紧性的非线性椭圆问题的多解及其性态。这些非线性椭圆问题包括源于天体物理的Lane-Emden方程和Euler-Poisson方程以及源于理论物理的非线性Schr？dinger方程和方程组。我们主要讨论这些方程在临界增长或超临界增长时其多解的存在性。这些椭圆型问题的解通常对应于某些变分泛函在适当函数空间中的临界点。因这些变分泛函都失去紧性，甚至在标准的Sobolev 空间非光滑，标准的变分方法无法用于研究这些问题。本项目的主要目标是发展新的分析工具来克服泛函失去紧性和泛函非光滑性所带来的困难，从而得到一些新的和有意义的结果。我们的研究不仅涉及到偏微分方程基本理论、非线性分析等重要的数学理论分支，同时也涉及到天体物理，理论物理等应用领域。因此，本项目的研究是十分有意义的。