中文摘要：

本项目研究经典陀螺系统（Euler-Poisson方程组）的可积性及其涉及的相关理论问题。首先，借助单参数Lie群理论等方法研究经典陀螺系统的可积性。寻找该系统的完全可积情形，并寻找其独立的首次积分，研究所得到的首次积分反映出的陀螺系统在几何、运动形态方面的特点并进行数值计算。在上述工作基础上，进一步扩展Lie群在其它力学系统的可积性方面的研究, 研究不可积力学系统的复杂性。在此基础上研究一些自治系统与一类拟齐次系统的可积性问题。相关的研究内容将为利用Lie群理论研究自治系统与一类拟齐次系统的可积性问题提供比较系统性的理论结果。

结论摘要：

本项目研究经典陀螺系统（Euler-Poisson方程组）的可积性及其涉及的相关理论问题。对于一般Kovalevkaya陀螺系统，证明了其解可以用超椭圆函数表示出来；在研究陀螺系统的动态中，利用能量Casimir函数方法证明了陀螺系统的一类动态的非线性稳定性；结合Lie群理论与Draboux理论，更一般性地研究了广义齐次系统的可积性问题，得到了这类系统的首次积分与积分因子具有的性质，给出了求这类系统的逆积分因子的方法，得到了这类系统与广义退化无穷系统的关于可积性的关系；利用Lie群理论给出了一种求解二阶常微分方程的方法，得到了一类新的可积的Riccati方程；另外，在一类非线性波动方程的动态的研究中，也得到了一些可喜的结果。