中文摘要：

Sato建立了概齐次空间理论, Shintani定义了概齐次空间所对应的zeta-函数, 从而把概齐次空间与数论紧密联系起来. 近年来, 该研究领域在国际上非常活跃, 在代数数论, 计算数论, 乃至自守形式的研究中显示出积极的推进作用. 本项目以各种概齐次空间对应的zeta-函数作为主要研究对象, 应用Galois理论, zeta-函数理论等经典的数论知识和群表示论, 拓扑群理论等知识, 研究zeta-函数的具体形式, 解析延拓, 函数方程, 极点和留数等问题, 本项目还将讨论在概齐次空间相应zeta-函数的研究中经常遇到的轨道以及类数与调整子的乘积问题. 以此丰富数论的研究.

结论摘要：

本项目主要研究概齐次空间所对应的zeta-函数以及相关的数论问题。项目组以讨论班的形式系统地学习了相关理论知识，查阅大量相关文献，对比国内外相关领域的研究动向和研究热点。本项目在执行过程中，共完成科研论文14篇，已发表论文10篇，其中SCI检索论文5篇；培养硕士研究生6人，其中5人已经取得硕士学位，1人在读。本项目所取得的主要研究成果如下。模形式理论是当代数论研究中非常重要的工具，而Kloosterman和是模形式理论中的重要组成部分。Goldfeld和Sarnak在Petersson，Maass和Selberg的工作基础上进一步讨论了Selberg-Kloosterman zeta-函数，给出了Selberg-Kloosterman zeta-函数的一个渐进估计，从而得到了Selberg-Kloosterman zeta-函数的一个上界。本项目在Goldfeld和Sarnak的工作基础上，利用Selberg-Kloosterman zeta-函数的渐近公式给出了小区间上广义Kloosterman和之和的估计；给出了n个广义Kubert函数乘积的积分化简公式，推广了Walum的工作；并由此阐明了之前所讨论的两个L-函数乘积的离散均值问题。利用广义恒等式理论，在素环的非零右理想和非交换Lie理想上讨论了与一般多项式映射复合可换序的广义导子的结构；特别地，在微弱的假设下，证明了在素环的非零右理想和非交换Lie理想上与非线性多项式映射复合可换序的导子只有零导子；给出并解决了一个零化子幂零值条件；证明了如果素环上的两个导子的n次幂总相等，那么这两个导子必线性相关；证明了在素环的非零左理想和非交换Lie理想上与左乘具有相同幂值的广义导子必与该左乘线性相关；证明了非线性形式的Martindale引理，从而极大地拓展了Martindale引理的应用范围；利用Bresar的半素环双导子结构定理给出半素环上n (n>2)导子结构定理。讨论了素Gamma环上导子的强保交换性、中心化与Gamma环的交换性之间的联系。给出了导子在三角代数上满足广义Engel条件的等价条件；讨论了环R上的列有限矩阵环和无穷上三角矩阵环上的左导子和Jordan导子的具体表达式；还讨论了当R是2-无扭环时，关于Jordan左导子的相应问题。给出了一类半交换Armendariz环的例子。