中文摘要：

N-S方程的并行数值求解方法是当前计算数学和计算流体力学领域的前沿热门课题之一。本项目拟设计和研究求解三维定常N-S方程的一类简单而高效的新型完全重叠型区域分解有限元并行算法。其基本思想是使用有限元方法进行离散、使用类似于局部加密的全局网格去计算N-S方程在互不重叠的子区域内的局部解。结合求解N-S方程的Newton迭代法、Picard迭代法和简单迭代法，我们将设计出几种求解N-S方程的基于新型完全重叠型区域分解的有限元并行迭代算法。使用有限元局部误差估计和区域分解的理论工具，我们将对算法的稳定性、收敛性、所得近似解的误差及并行性能进行数值分析，以期为高维复杂流体的并行数值模拟提供新的算法工具和理论依据。同时编制出有限元并行程序软件包，对复杂流体问题进行大规模数值模拟，以了解高维N-S方程解的性态，加深对流体运动规律的认识，为促进流体力学在工业部门中的应用作出贡献。

结论摘要：

Navier-Stokes（N-S）方程是流体力学的基本方程，其数值模拟是计算流体力学的重要组成部分。基于有限元离散方法，本项目设计和研究了数值求解不可压缩N-S方程的若干并行算法。这些算法大致可分为两大类第一类方法中，每台处理器并行地用一局部加密的全局多尺度网格计算所负责子区域的局部有限元解；第二类方法中，每台处理器首先在一粗网格上求解非线性N-S 方程，然后在细网格的子区域上并行求解线性化的残差方程，以校正粗网格的解。在这两类方法中，由于每台处理器都需求解一个全局问题，其求解区域与其他处理器是完全重叠在一起的，我们统称为完全重叠型区域分解算法。但为了区别以上两类方法和叙述方便，我们称第一类方法为基于完全重叠型区域分解技巧的并行有限元方法，而称第二类方法为基于两重网格离散的并行有限元方法。首先，对于低雷诺数和中等雷诺数的定常N-S方程，我们设计了基于两重网格离散的并行有限元算法。在该类算法中，我们首先在一粗网格上分别用Newton迭代法和Oseen迭代法求解非线性的N-S方程，然后在细网格的子区域上并行求解一Oseen问题以校正粗网格的解。其次，对于低雷诺数和中等雷诺数的非定常N-S方程，我们设计和研究了三种高效并行全离散求解方法。其基本思想是首先对空间施行完全重叠型区域分解（即第一类并行方法），然后各个处理器使用向后Euler 格式独立并行求解关于时间t 的常微分方程。对于非线性的对流项，分别采用半隐格式和全隐格式进行处理。再次，针对高雷诺数的定常N-S方程，我们分别将亚格子模型方法、亏量-校正方法和基于Gauss积分的变分多尺度方法与完全重叠型区域分解技巧和并行两重网格离散方法相结合，设计和研究了基于完全重叠型区域分解技巧的并行亚格子模型方法、并行亏量-校对算法，以及基于两重网格离散的并行变分多尺度算法，为高雷诺数不可压缩流的数值模拟提供了新的算法工具。最后，对于高雷诺数的非定常N-S方程，我们研究了基于两个Gauss积分的变分多尺度有限元算法，并与相关算法进行了数值比较。以上这些并行算法实现简单，具有良好的并行性能，具有较好的应用前景。理论分析和数值试验验证了并行算法的高效性。本项目发表高质量论文15篇（其中SCI收录13篇，中文核心并EI收录1篇，中文核心1篇），完成了计划任务书的各项研究内容，取得了预期研究目标。