中文摘要：

非线性振动为微分方程和动力系统提供了丰富的物理、力学和工程中的模型。而二阶哈密顿方程作为非线性振动的基本模型，其关于方程解的周期和拟周期行为，解的有界性，以及与稳定性相关的定性分析，一直是研究的热点。本项目将集中研究相关二阶哈密顿方程的定性理论，具体内容分三部分一、二阶Duffing方程的周期、拟周期解的存在性与多样性，以及Littlewood有界性问题。二、带碰撞的二阶方程解的相关定性问题；三、Bose-Einstein凝聚态（BEC）中解的拟周期动力学行为。 第一部分属于经典的范畴，但是我们的研究将更为深入；后两个部分由于方程本身带有碰撞或奇异项，属于非光滑动力系统范畴，这也是本项目在内容上的创新点。方法上，我们将对经典的相平面分析、KAM理论等方法作出新的理解、甚至给出新的不变曲面定理，从而可以应用于上面提到的问题，这些都将在正文中予以详细的阐述。

结论摘要：

非线性振动为微分方程和动力系统提供了丰富的物理、力学和工程中的模型。而二阶哈密顿方程（组）作为非线性振动的基本模型，其关于方程解的周期和拟周期行为，解的有界性，以及与稳定性相关的定性分析，一直是研究的热点。本项目历时三年，集中研究了相关二阶哈密顿方程（组）的定性理论，具体内容分为如下三部分一、二阶相对振动方程拟周期解的存在性与多样性，以及Littlewood有界性问题。二、带脉冲项的二阶方程周期解的存在性与多样性问题；三、高维非自治耦合哈密顿方程解的定性理论 1.一类耦合二阶Duffing方程组有界解与无界解的共存问题； 2.一类带有拟周期扰动的Voltka-Volterra捕食系统的拟周期解的存在性问题。在以上问题的讨论中，我们主要应用了KAM理论，拓扑度理论，以及相平面分析等方法。