中文摘要：

以二维三温能量方程组为研究模型，分别在三角形网格上和四边形网格上，构造低次和高次有限体积元方法，要求格式守恒性好，且可以较精确的处理间断系数，并在大变形网格上仍有令人满意的精度，同时给出有限体积元格式的理论分析。由于二维三温能量方程组中温度的梯度不连续、存在突变区等，需要研究有限体积元格式和自适应技术的结合。对于有限体积元全隐格式形成的大型病态的非线性代数方程组，我们将设计高效可靠的非线性迭代方法，使得其能保持原来的非线性偏微分方程组的特性，且具有可靠的收敛精度。对于离散格式所涉及的大规模的稀疏的严重病态的线性代数方程组，需要研究预处理技术在计算中的应用。对于新构造的有限体积元格式，将编制程序求解二维三温能量方程，并与其它现有的Lagrange网格上扩散格式（例如多点通量逼近格式、间断有限元格式）进行比较。

结论摘要：

本项目主要研究了二温、三温能量方程组有限体积元法的数值模拟以及扩散方程有限体积元法的误差估计和超收敛性。具体来说，取得了以下六个方面的研究成果 第一，以非平衡辐射扩散方程组（二温方程组）为模型，分别在三角形网上和四边形网上构造了低阶元全离散有限体积法，并编制程序进行了数值模拟。我们也将自适应技术和三角形网上线性元有限体积法相结合，进行了数值模拟。我们还构造了矩形网上的双二次元（高次元）有限体积法来数值求解二温方程组。 第二，以辐射三温能量方程组为模型，在三角形网上构造了全离散的线性元有限体积法，并编制程序进行了数值模拟。此外，我们还将自适应技术和三角形网格上线性元有限体积法相结合，实现了空间区域的自适应计算。 第三，以对流扩散方程为模型，研究了具有单调性的有限体积格式和保极值原理的修补技术。 第四，以线性扩散方程为模型，研究了一般四边形网上的双线性元有限体积法的最佳阶L^2误差估计及超收敛性；构造了最佳的双二次有限体积元格式，并给出了收敛性及超收敛性的证明；建立了三角网上Lagrange三次元有限体积法，给出了收敛性分析。 第五，将求解线性扩散方程有限体积元法的构造思想推广到线性热传导方程，建立了矩形网上双二次有限体积元法，并给出了收敛性及超收敛性的理论分析。 第六，研究了线性扩散型方程有限体积法的预处理技术，建立了一个一致的理论框架，证明了有限体积元法预处理后的系数矩阵条件数一致有界。