中文摘要：

多项式的零点分布问题一直是数学学科的主要课题之一，该课题受到当代组合数学权威R.Stanley和H.Wilf以及陈永川教授的重视。本项目旨在研究定义在整数分拆上的Durfee多项式及其零点分布问题。1998年，Canfield、Corteel 和 Savage猜想有八类Durfee多项式的零点全为实数。这个猜想引起了广泛关注，但到目前为止只得到了与Durfee多项式有关的一些渐进值。研究这个猜想的难点在于Durfee多项式均满足某种类型的高阶递归关系，而次数相邻的Durfee多项式之间的零点位置关系很难给出。本项目将围绕这个猜想展开研究，重点讨论分部量数分别为奇数和偶数的分拆以及自共轭分拆上的Durfee多项式。分析过程中将融入零点的稳定性理论和相容性理论，以期为解决该猜想起到一定的推动作用。探讨稳定性理论和相容性理论的交叉点，可为高阶递归关系的研究带来新的研究视角。

结论摘要：

关于Durfee多项式的研究是计数组合学中一项十分具有挑战性的课题，围绕该多项式展开研究具有重要的理论价值。由于Durfee多项式满足高阶递归关系，一个思路是寻找新的平台探讨这种高阶递归关系。我们已利用零点的相容性理论证明了定义在自共轭分拆上的Durfee多项式是实零点的。近年来，关于微分多项式的研究逐渐成为组合数学中的热点课题之一。一个想法是探讨Durfee多项式与微分多项式之间的联系。我们在微分多项式方面的研究进展主要有两方面其一利用正切函数的微分多项式，给出了n阶对称群中具有k个Alternating runs的排列数的一个显式，这一结果修正了数学家L. Carlitz的显式；其二通过引入一类双变量的微分多项式，对分别定义在A型和B型Coxeter群上的Eulerian数给出了新的刻画。微分多项式有着重要的组合应用前景，在后续研究中我们将继续这方面的探讨。