中文摘要：

Rogers-Ramanujan函数及相关theta函数恒等式是组合数学和q-级数的一个重要研究方向。由于与其它数学分支有着非常密切的联系，该领域长期成为研究热点，得到了包括Hardy、Waston、Andrews、Berndt在内的多位世界知名学者的关注和重视。 本项目旨在利用两种新的方法（奇偶法和模方程法）建立新的包含Roger-Ramanujan函数和G?llnitz-Gordon函数的恒等式或对已知的恒等式给出新的证明；尝试将数学机械化方法的递推思想应用于组合证明，构造相关恒等式的组合证明；同时计划利用数学机械化手段和Ramanujan模方程理论，确定一类无穷项乘积的泰勒展开式系数正负的周期性，从而推广Andrews等人的结果。 通过项目的实施，我们希望利用申请书中的方法不仅能够发现更多新的恒等式，促进该领域的发展，而且还可以进一步深化该领域与数学机械化的联系。

结论摘要：

Rogers-Ramanujan函数是当前q级数的研究热点之一，该课题与其它多个数学分支有着重要的联系。本项目主要研究对象是Rogers-Ramanujan函数、theta函数和Rogers-Ramanujan连分数。主要研究成果如下 1、利用Rogers-Ramanujan函数和奇偶法，我们建立一系列包含Gollnitz-Gordon函数和theta函数的恒等式。利用上述恒等式，我们给出了表示一个整数为几个五角数之和的表示方法的公式。 2、利用theta函数理论和数学机械化方法，我们推广了关于Rogers-Ramanujan连分数的分块公式，分块公式最早由Hirschhorn教授提出并被Lewis和刘志国教授证明。 3、利用Ramanujan模方程理论，我们建立一系列theta函数恒等式。利用上述恒等式，我们给出了某些限制分拆的同余关系。