中文摘要：

自1964年Bell解决了EPR悖论，明确回答局域隐变量理论不能预见量子力学效应以来，寻找Bell不等式一直是量子物理领域的一个基本问题。随着量子信息理论的发展，违反Bell不等式不但能够保证在量子密钥分配过程中的安全性，而且违反Bell不等式的量子态在进行信息处理过程中，能有效地降低信息通讯的复杂度。这进一步促进了Bell不等式的研究。通常局域关联形成一个凸多面体，而多面体的面就对应着Bell不等式。但是从多面体的顶点去求解面的方程是个NP问题，因此不存在一个普遍有效地算法直接求解Bell不等式。我们这个课题着重研究Bell不等式的结构特点和关联多面体的几何结构特点，依此特点将低维Bell不等式推广到高维情形。特别是推广到多粒子多观测量的情形，得到易于操作的推广方法，并在这些情形下获得Bell不等式的简洁表达式。研究违反这些不等式的量子态的基本性质，进而探求其在量子信息中的应用。

结论摘要：

局域隐变量理论不能预见量子力学效应，量子非定域性就成为量子力学的一个基本特性。而刻画这个特性，就利用了Bell不等式。因而寻找Bell不等式一直是量子物理领域的一个基本问题。 随着量子信息理论的发展，相关研究也促进了Bell 不等式的应用方面的研究。其一，违反 Bell 不等式不但能够保证在量子密钥分配过程中的安全性；其二，违反Bell不等式的量子态在进行信息处理过程中，能有效地降低信息通讯的复杂度；其三，Bell 不等式的违反可以作为随机性的判断标准，因而可以给出量子随机数扩张的协议。 通常给定局域隐变量模型，该模型所能预测的事件形成一个凸多面体，多面体的顶点是确定发生的事件，多面体的面就对应着紧的 Bell 不等式。从而求解Bell不等式的问题，就转化为求解凸多面体的面方程的问题。但是从多面体的顶点去求解面的方程是个 NP 问题，因此不存在一个普遍有效地算法直接求解 Bell 不等式的表达式。 本项目研究 Bell 不等式的结构特点和关联多面体的几何结构性质，将低维 Bell 不等式推广到高维情形。在项目执行期间，得到了一些重要结果。首先，利用齐次化的方法建立了CH-型和 CHSH-型不等式的联系，并且得到了在$3\times3\times3$ 情形下的 CHSH- 型不等式，并给出了这些不等式的基本性质。其次，将随机数扩展的协议，推广到无纠缠辅助的情况。这对于实验实现随机数的扩展产生了积极作用。另外，我们考虑了量子关联的刻画，给出了基于范数的量子关联的度量，并研究了这个度量在马尔科夫和非马尔科夫演化下的动力学行为。