中文摘要：

中文主题词多解；非线性椭圆型方程；特征展开；反问题；数值分析

结论摘要：

非线性椭圆型方程广泛出现在生物、物理和材料科学等各个领域，近三十年来已引起国内外数学家的广泛重视，其相应的多解理论的研究仍然是国际数学界的热点问题。因此，为了满足实际应用和理论研究的需要，发展寻求非线性椭圆型方程多解的数值计算方法变得非常迫切，这方面的研究工作还非常的少。此外，与偏微分方程反问题密切相关的材料计算研究也是目前计算科学最感兴趣的方向之一。 本项目研究非线性椭圆型方程解的存在性和多解性，特别是求解非线性椭圆型方程多解的一类新的数值计算方法，即改进的搜寻延拓法(ISEM):该方法可以克服由一般非线性、一般区域和局部收敛性所带来的困难，进而用科学计算的手段探讨椭圆型方程的解的局部性质，如 Morse指标等。并由此发展一系列求解非线性方程组和非线性优化问题的计算模式，以解决实际计算中相关的问题，如与材料科学有关的偏微分方程反问题的计算等。上述相关工作有一部分已整理成文，在国际国内著名刊物上已发表论文5篇，并有1篇论文接受待发表,4篇文章已投稿。我们的工作不仅在计算方法上进行了非常有益的探讨，而且为偏微分方程理论的研究提供了新的课题，并且可以成功地应用在材料和能源等各个领域。