中文摘要：

本项目研究最一般的平移不变空间，即加权的平移不变空间和多生成平移不变空间中的非均匀采样集条件。只有满足这些条件，我们才可能能获得稳定的信号重构(恢复)，而且我们希望对采样集条件的上、下界给出了显式表达式，特别需要指出的是对于下界显式表达式的研究和控制下界条件的研究在国内外仍处于起步阶段，一些结果还只是猜想。在获得非均匀采样条件的基础上，我们将给出有效的信号重构算法，此算法将具有更好的收敛性，而且有

结论摘要：

本课题围绕信号处理理论与小波分析展开了研究。已得到的主要结果有以下几方面（1）我们讨论了在加权多生成平移不变空间中的非一致采样问题。在加权多生成平移不变空间中获得了采样集条件，并且给出了在一些特殊平移不变空间中的采样集条件中不等式的显示边界表达式。（Appl. Comput. Harmon. Anal，2007）；（2）我们构造了Legendre小波并且把它应用于研究Laplace方程的自然边界积分方程在上半平面的数值解。（Applied Mathematics Letters，2006）；（3）我们构造了样条空间中的再生核，并用这个再生核获得了基于递增积分采样的重构公式。同时，我们在在样条子空间中改进了A-P迭代重构算法，使得改进后的算法有更快的收敛率。（Signal Process, 2006）；（4）在微阵列时间序列分析中用谱估计的方法去确定周期表达的基因是一种很普遍的方法，我们对非均匀采样数据提出了一种新的谱估计算法，这个算法是基于平移不变空间中的信号重构技术，测试显示我们的算法比Lomb-Scargle算法更加精确（ICMLC 2006）。