中文摘要：

高维微分方程反问题是具有极大的数学挑战性和明确的应用背景的课题。数学上的难点源于其强非线性性和不适定性，同时伴随着数值实现中的大计算量。其应用背景是由介质外部的测量信息去探测介质的内部结构或边界形态。本课题考虑高维抛物型方程的(初值)系数反问题和Helmholtz方程定解问题的边界反问题.首先建立这两类反问题解的条件稳定性的估计.以此为基础, 对该类反问题求正则化解时正则化参数的选取给出明确的选取策略, 进而给出解的误差估计. 最后研究正则化解的数值行为, 尤其是正则化参数的大小, 反问题连续模型的离散精度, 数值解的误差估计三者之间的关系. 本项目的特点在于将反问题解的条件稳定性和正则化方法相结合, 给出了正则化参数的一种可行的选取方法. 该结果最终可用于处理一大类的数学物理反问题.

结论摘要：

高维微分方程反问题是一类具有深刻理论价值和广泛背景的重要问题，任务是由定解问题解的信息来确定问题中的未知成份，如方程的系数，初边值条件等。问题的物理背景是由介质外部的可测量信息来探测其内部结构。 数学上该类问题的困难在于其非线性性和不适定性。尤其是不适定性和数值求解中的大计算量， 更是对这类大规模的计算问题提出了新的挑战，急需发展高效稳定的数值方法。本课题研究由Helmholtz方程描述的一类椭圆形方程的反问题和由抛物型方程描述的热传导反问题。对前者研究了边界反问题。 通过引进边界的一系列标志函数，系统建立了不同类型的边界的的重建方法。和已有的基于优化方案的近似求解方法相比，所建立的反演方法是一系列理论上准确的反演公式。以此公式为基础，系统研究了算法的实现问题，包括迭代过程的收敛性，实现精度，程序的优化问题等。对后者研究了具有明确背景的逆时热传导问题和系数反问题， 建立了解的条件稳定性，及基于方程基本解的积分方程反演方法和基于优化技术的逆时问题的反演算法。系统建立了上述两类问题的正则化求解方法。基于课题的研究发展了不适定问题求解的有关正则化理论和方法，同时也开展了有关的国际合作。