中文摘要：

本项目将研究有限分歧分形集合上的拉普拉斯算子与对应的调和函数，狄利克雷形式的性质。具体内容包括（1）研究如何在一般有限分歧自相似集上定义p-调和函数，p-能量和p-拉普拉斯算子，以及p-能量的存在惟一性问题；（2）引入独立集概念与调和延拓方法，用平均值方法定义非对称有限分歧自相似分形集合上的拉普拉斯算子，调和函数及狄利克雷形式并研究其性质；（3）研究在有限分歧分形乘积集合上建立带有狄利克雷（或钮曼）边界条件的微分方程并求解；（4）研究从有限分歧分歧分形集合到圆上的调和映射，给出调和映射存在的充分必要条件。我们希望通过本项目的研究，对分形上拉普拉斯算子以及对应的调和函数，狄利克雷形式的性质有更加深入的刻画，并对乘积分形上定义的狄利克雷形式进行初步的探索。进一步，对分形偏微分方程理论从不同的侧面有更为深入的了解，为分形偏微分方程找到新的研究途径和方法。