中文摘要：

Calabi-Yau代数起源于代数几何和数学物理的研究一个Calabi-Yau流形上的凝聚层的有界导出范畴上的Serre函子同构于移位函子的方幂。Kontsevich称具有这样性质的三角范畴为Calabi-Yau范畴，其相对应的代数称为Calabi-Yau代数。近几年来，Calabi-Yau现象与性质在其它各个不同的领域中相继被发现，例如，Cluster范畴被证明是2维Calabi-Yau范畴；一些Artin-Schelter正则代数同样被证明是Calabi-Yau代数。因此，Calabi-Yau代数已成为数学物理、代数几何和非交换代数领域中的热门研究课题之一。本课题主要研究问题有讨论3维诺特分次Calabi-Yau代数的结构；刻画3维Calabi-Yau代数的非交换几何性质。本课题的主要研究成果有给出了有限维Lie代数的的Sridharan包络代数是Calabi-Yau代数的判别方法，并对3维情况作了具体的分类；给出了Hopf代数及其在分次Calabi-Yau代数上的作用何时是Calabi-Yau的判别方法；讨论了微分分次代数的Koszul性质以及建立了非交换BGG对应。