中文摘要：

本项目将研究Reissner-Mindlin板问题和变分不等式的自适应方法。主要研究内容为Reissner-Mindlin板问题的平均型后验误差分析，自适应方法的收敛性和最优复杂性，一般椭圆障碍问题的后验误差分析和自适应方法的收敛性及最优复杂性，Signorini问题的后验误差分析和自适应方法的收敛性及最优复杂性。通过项目的实施，希望能给出板问题较为简单的平均型后验误差估计子并证明自适应方法的收敛性及最优复杂性，给出一般椭圆障碍问题和Signorini问题的在某种度量下的可靠有效的后验误差分析，证明它们的自适应方法的收敛性及最优复杂性。

结论摘要：

研究了弹性力学问题自适应方法及收敛性和最优性。通过提出一个改进的误差估计子，证明了Stokes问题自适应高次协调元方法的收敛性。同时，通过标准的插值算子，充分发掘非协调线性元的守恒性，证明了速度和压力的拟正交性，从而证明了Stokes问题标准的自适应非协调线性元方法的收敛性。提出一个新的提升算子，证明了后验误差估计子的离散可靠性，从而证明了Stokes问题自适应非协调线性元方法的最优复杂性。结合模型椭圆问题自适应方法收敛性和最优性结果，得到一类Reissner-Mindlin板问题自适应方法的收敛性和最优性。利用C1-Q2元和单元弱连续性质，给出四阶问题两个矩形单元可靠有效的后验误差分析；通过Morley元的标准插值算子，充分利用其连续性质和守恒性质，证明了Morley元方法的拟正交性，证明了自适应Morley元方法的收敛性;构造了一个新的提升算子，证明了后验误差估计子的离散可靠性，证明了自适应Morley元方法的最优复杂性。继续完善Reissner-Mindli板问题有限元方法后验误差分析理论，整理、修改和发表前期结果。研究二阶椭圆障碍问题自适应方法的收敛性和最优性通过利用一个单位分解，将问题局部化，然后充分考虑拉格朗日乘子的非正性，证明了一个可靠有效后验误差估计子的离散可靠性，从而证明了自适应方法的最优复杂性研究四阶问题低阶有限元方法及误差估计。在矩形宏单元网格上，提出了一个C1连续的双二次元，证明了所构造的有限元空间是完全的C1-Q2 空间，构造了此元的一个Girault-Scott 型插值算子，从而证明了有限元方法的最优收敛性。建立了一个恒等式将L2范数意义下的误差估计和能量范数意义下的误差估计巧妙联系起来，然后通过证明能量范数意义下误差估计的一个下界，证明了低阶有限元方法在L2范数意义下最高只有二阶收敛性不可能有三阶收敛性。对于Adini元，证明了当特征函数充分光滑时，离散特征值都比真实特征值小。同时，利用特征值的上界和下界，构造了计算特征的高效算法。