中文摘要：

理论与计算神经科学是近年来数理学科和生命学科研究的一个前沿领域，而基于生理学实验提出来的整合-发放型的神经元网络动力学的研究则构成了理论和计算神经科学领域研究的基础核心，该神经元网络动力学是通过一组高维非线性非光滑的偏微分方程来描述的，而目前较为成熟的一些数学理论大多是针对线性的光滑的系统建立的，例如李雅普诺夫指数的定义与数值算法、时间序列间的格兰杰因果关系等，如何将这些经典的方法和手段推广到神经元网络这样的非线性非光滑的系统将是一个非常大的挑战。本项目的研究是基于申请者最近发展的从动力系统角度来刻画这类高维非线性非光滑的长时间稳定性的数学理论和数值算法而提出的，重点考察神经元网络的动力学吸引子结构随外界输入扰动的变化，解剖学连接结构与功能连接结构信息之间的关系以及如何结合神经元的微观动力学信息与群体宏观动力学信息，从而更好地理解脑电信号所反映的非线性动力学的产生机制等问题。

结论摘要：

随着欧盟和美国在2013年相继提出大脑研究计划，目前中国也正在酝酿着自己独具特色的脑计划，从各国脑研究计划可以发现，数值模拟和数学理论在这当中起着非常重要的作用，因此近年来，计算神经科学作为数理学科和生命学科交叉研究的一个前沿领域，越来越多地得到重视。项目负责人多年来从事应用数学和计算数学研究，尤其是计算神经科学中的数学和科学问题，在接受青年科学基金资助以来，以计算神经科学中基于实验的整合-发放模型和Hodgkin-Huxley模型为基础，并与神经实验学家合作，在刻画类似神经元网络这样的高维非线性动力学结构方面发展了一些新的数学结构和对实验有帮助的数据处理方法，并对光学成像及神经元信号整合的电生理实验方面起到了很好的指导作用。项目负责人被青年基金资助的工作发表在美国科学院院报（PNAS），物理评论快报（PRL），美国科学公共图书馆计算生物学（PLoS Comput. Biol.），计算神经科学（J. Comput. Neurosci.）和物理评论E等应用数学和科学的国际重要甚至顶级期刊上，成果包括(1)构建了灵长类初级视皮层包含百万神经元的大尺度微分方程计算模型，通过数值模拟和理论分析解释了光学成像实验现象的内在动力学机制，并指出了原实验的某些结论是数据处理不当造成的；(2)研究了神经元网络这样的高维非线性随机动力系统的拓扑结构重构的反问题，建立起了神经元网络的结构连接与格兰杰因果连接之间的定量对应关系；(3)提出了神经元对输入信号整合满足的双线性法则，建立了包含神经元信息整合效应的新型的点神经元模型；(4)指出了实验上利用格兰杰因果关系（例如处理多通道脑电图测量信号）研究神经元网络的功能连接的测量数据采样率的问题，提出了能够反映体系内在因果连接的算法；(5)提出了神经元网络非线性动力学中存在着压缩感知编码的可能，并指出了利用神经元感受野概念来实现更有效的数据采样；(6)推广了传统的动理学理论关于神经元网络动力学的刻画，提出了能包含神经元放电关联事件的动理学方程的数值计算方法。